De windbrief, die Frans Hendriksz op 16 september 1649 kreeg voor een volmolen op het Kalf , is zeer waarschijnlijk het document, dat bij de latere pelmolen Het Kuiken hoorde. Daarna was het bijzonder lang stil rond Het Kuiken, maar veertig jaar later dook hij weer op. Het ‘Cuychen’, zoals hij omschreven werd, was op 31 mei 1689 nog steeds volmolen. Eigenaar Pieter Pietersz van ’t Calf in Oostzaandam verkocht toen een half part in de molen voor f. 1260,- aan Pieter Gerritsz, die ook op het Kalf woonde . De standplaats werd in deze acte verkeerd omschreven als ‘staende in de Calverbedightinge’. Dat was de Kalverpolder, maar hier heeft Het Kuiken nimmer gestaan. De molen stond tegenover De Kuil aan het Kalf.
Op 5 september 1726 dook de molen weer op. Toen verzekerde eigenaar Gerrit Jan Broere de molen in het zgn. pellerscontract. Het Kuiken of Jonge Kuiken, zoals hij officieel heette, was toen al omgebouwd tot papiermolen. Dat hij toch in het pellerscontract terecht kwam, was een gevolg van het feit dat Broere de pelmolen De Almanak ook in dit contract verzekerde . De Zaandammer koopman had deze molen in 1721 van Jisp naar het Kalf in Oostzaandam laten verplaatsen, waar hij pal ten westen van de Gouw pal tegenover De Kuil, een inham in de Zaan, en de oliemolen De Sint Willibrord stond. Dat erf lag vlakbij Het Kuiken.
Broere was eigenaar van een half part in Het Kuiken. De andere helft behoorde aan Willem Gerritsz Spits, die rond 1750 overleed. Zijn kinderen Neel, Marij en Claas Willems Spits verkochten toen aan Broere een ‘halve part in de grauw papiermolen genaamt Het Kuyken, belent ten suyden de molen de Almanak ten noorden de moolen De St. Pieter” voor f. 2000,- .
Het Kuiken werd toen dus op f. 4000,- getaxeerd, wat zeer weinig was voor een papiermolen. De meeste papiermolens waren toen al lang in het zogenaamde Papiermakerscontract verzekerd en stonden daar vrijwel zonder uitzondering voor minstens 8000 gulden genoteerd. Maar Het Kuiken was een kleintje onder de industriële grootmachten van die tijd. Op 9 februari 1754 sloot Broere een nieuwe verzekering af. Dit keer liet hij de molen voor f. 2500,- verzekeren. Dat betekende dus een teruggang van liefst 1500 gulden .
Broere was overman in het pellerscontract. Hij maakte dus deel uit van de directie en regelde de in-en uitschrijvingen van de molens in deze brandverzekering, maar hield ook toezicht op de naleving van de brandveiligheidsvoorschriften. De overlieden deden ook aan gezamenlijke belangenbehartiging voor de branche en traden dus min of meer als werkgeversvereniging op. In 1762 legde Broere deze functie neer. Ongetwijfeld in verband met zijn leeftijd. Hij werd vervangen door Claas Adriaansz Duyn . Twee jaar later stierf Broere.
Het Kuiken kwam toen in handen van Pieter Pietersz Graaf, die zich op 6 februari 1768 als eigenaar liet inschrijven in de brandverzekering en dat in elk geval tot 28 februari 1801 zou blijven . Het Kuiken was door de nieuwe eigenaar behoorlijk opgekalefaterd, want toen hij de molen in 1801 opnieuw liet verzekeren werd de waarde op f. 6500,- gesteld en dat terwijl de economisch slechte Franse periode in volle gang was. Slechts één keer moest er werkelijk een beroep op de verzekering worden gedaan. Dat was toen op 10 september 1782 ’s middags omstreeks één uur de pelmolen De Uil, die vlakbij Het Kuiken stond, in brand vloog. Overwaaiend vuur zorgde voor de nodige schade, maar de molen van Graaf bleef behouden. Hij kreeg een uitkering van f. 98:16:- van het Papiermakerscontract.
Na een kort intermezzo met Gerrit Groot en Cornelis Hooyschuur, die beiden op het Kalf woonden, als eigenaar, kwam Het Kuiken in 1804 in handen van Pieter Fransz Graaf. Een familie-relatie met de oude eigenaar is niet aangetoond, maar wel waarschijnlijk. Beiden kwamen van het Kalf, de buurtschap in het noorden van Oostzaandam. Pieter Fransz Graaf werd op 25 februari van dat jaar in het Papiermakerscontract ingeschreven als eigenaar. Dertien jaar later werd op 4 februari 1817 in het notulenboek van dit contract genoteerd: “Pieter Fransz Graaf heeft papiermolen Het Kuiken laten verbouwen tot pelmolen. ”
Dit was een opmerkelijke verandering, want met Het Kuiken leek het als papiermolen goed te gaan. Twee jaar eerder was de verzekering nog opgekrikt tot het nog nooit bereikte niveau van f. 10.000,-.
De mededeling in het notulenboek maakte wel een einde aan lange discussies over de vraag, wanneer Het Kuiken nu eigenlijk precies werd verbouwd. Pieter Boorsma zegt in Duizend Zaanse Molens, dat dit in 1847 gebeurde. Henk Voorn, die de historie van de papiermolens uitputtend onderzocht, kwam er ook niet uit. Hij vermoedde dat de verbouwing rond 1821 had plaats gevonden.
Op 4 oktober 1822 was Het Kuiken in handen van Jan Wagemaker. De molen stond voor f. 5000,- in de verzekering, het gebruikelijke bedrag voor pelmolens. Wagemaker zou maar zes jaar met de molen werken, want op 2 februari 1828 liet hij Het Kuiken in De Waakzaamheid in Koog aan de Zaan in veiling brengen. IJsbrand de Verwer, een boekhouder uit Zaandam, was met f. 3300,- de hoogste bieder. Hij betaalde voor overneming van losse goederen en gereedschappen f. 175,- en kocht in de veiling van een groot aantal losse kavels twee pelstenen voor f. 84,- en f. 81,-. Dit moeten wel nieuwe stenen geweest zijn, want een oud gebruikt exemplaar ging voor nauwelijks negen gulden weg. De openbare verkoping van deze goederen bracht in totaal f. 431,65 ½ op. Het zogenaamde Kuikensven, een akker bij de molen, werd voor f. 430,- gekocht door de Zaandammer Andries Kemff .
Met de verkoop van de molen aan IJsbrand de Verwer begon een lange periode, waarin deze familie met Het Kuiken zou werken. Op 24 juli 1854 verzekerde Jan de Verwer, inmiddels een vooraanstaand koopman in Zaandam, de molen voor f. 10.000,-. Deze overeenkomst bleef ongewijzigd tot 21 september 1882, toen de Westzaandammer Albert Cleyndert als laatste eigenaar opdook .
In 1903 werd het niet meer zo jonge Kuiken gesloopt en overgebracht naar Heeswijk in Noord-Brabant, waar hij als korenmolen weer werd opgebouwd. Zijn definitieve einde beleefde de molen in 1942. In dat oorlogsjaar volgde sloop.